Une approche du Principe de Fermat

L'objectif de l'animation est de montrer comment choisir le point d'entrée dans l'eau pour le sauveteur, dont le but est de se rendre le plus rapidement possible au secours du nageur en difficulté.

Autrement dit, la trajectoire la plus rapide est-elle la ligne droite, ou bien une ligne brisée, sachant qu'il se déplace plus vite en courant qu'en nageant ?

Le temps mis par le sauveteur est la somme :

• du temps de marche (course), soit t₁=d₁/V₁, où d₁ est la distance sur la sable, et V₁ est la vitesse sur le sable
• du temps de natation, soit t₂=d₂/V₂, où d₂ est la distance dans l'eau, et V₂ est la vitesse dans l'eau

Le graphe "temps de parcours" indique ce temps en fonction de la position "I" du point d'entrée dans l'eau, variable dont dépend ce temps de parcours.

Un calcul différentiel montre que ce temps de parcours est extremum (minimum, ici) lorsque se vérifie la relation sin(i₁)/V₁=sin(i₂)/V₂, où i₁ et i₂ sont respectivement les angles avec la perpendiculaire au littoral.

Considérant que l'indice de réfraction d'un milieu matériel est inversement proportionnel à la vitesse de propagation dans ce milieu (relation : n = c/V, où c est la vitesse de la lumière dans le vide), cette relation correspond à la deuxième loi de Descartes pour la réfraction de la lumière.

Le trajet effectivement suivi par la lumière à la traversée d'un dioptre est celui qui est le plus rapide ! C'est ce qu'a énoncé Pierre de Fermat en 1657.

Manipulation

• Deux curseurs permettent de modifier les vitesses du sauveteur.
• On peut déplacer les points rouges (départ, arrivée, point d'entrée dans la mer) par un cliquer-glisser.
• Des boutons permettent :
  - de réinitialiser (RaZ)
  - de démarrer le parcours (GO!)
  - de montrer le meilleur parcours (Optimiser)
  - d'afficher les valeurs (Valeurs) des angles, ainsi que les quantités sin(i1)/V1 et sin(i2/V2), qui correspondent de fait à la vérification de la 3ème loi de Descartes pour la réfraction. Ce panneau peut se déplacer par un cliquer-glisser.
• Le graphe affiche le temps de parcours en fonction de la position du point d'entrée dans la mer.
• Le chronomètre indique le temps écoulé depuis le départ du sauveteur.