Equations différentielles linéaires d'ordre 1

Cette page présente un résumé des équations souvent rencontrées en Physique

équation canonique
solution
exemples
second membre nul
y'+y/τ= 0

y = y(0)*exp(-t/τ)

Si τ>>0 cette expression tend vers 0 dans le temps

Si τ<0 elle diverge (rare pour un phénomène physique)
second membre constant
y'+y/τ= E/τ

E est "l'excitation"

y = A*exp(-t/τ)+SPEG (*)

SPEG = E : fonction constante

A : calcul par la condition initiale

Si τ>0 alors y tend vers E dans le temps

Si τ<0, divergence
  • charge d'un condensateur sous une tension constante : τ= RC ; E : tension du générateur.
  • établissement d'une température par transfert thermique
  • cinétique d'ordre 1 : évolution des produits de la réaction : τ = 1/k
  • équilibre d'une atmosphère isotherme. La variable est l'altitude, et "τ" est une longueur
second membre sinusoïdal
y'+y/τ=E/τ*cos(ωt)

y=A*exp(-t/τ)+SPEG

SPEG=B*cos(ωt+φ)

Si τ>0 alors y tend vers SPEG dans le temps (régime "établi")

Si τ<0, divergence (instabilité)

(*)SPEG : Solution Particulière de l'Equation Globale : elle a la même forme que l'excitation.