Points de Lagrange

Manipulons la figure...

L'animation montre la carte de potentiel ou de champ d'un "système à trois corps restreint", mettant en évidence les points d'équilibre relatif

Considérons le système formé de deux objets célestes (le Soleil et une planète, ou une planète et l'un de ses satellites par exemple), en interaction gravitationnelle. Les deux objets gravitent autour de leur centre de masse (G), selon des orbites, que l'on supposera circulaires, à la vitesse angulaire Ω, telle que Ω²=G(m1+m2)/R³.

Dans le référentiel tournant à la vitesse angulaire Ω, les deux objets sont immobiles. Aux champs gravitationnels des deux objets s'ajoute le champ inertiel Ω²*GM. On constate alors qu'il existe 5 points de champ nul : un petit objet de masse négligeable devant celles des deux autres (ne créant donc pas lui-même de champ gravitationnel) peut y être en équilibre. Ces points sont les "Points de Lagrange" L1, L2, L3, L4 et L5.

Les points L1,L2 et L3 se trouvent sur un "col" de potentiel : dans une direction parallèle à l'axe des masses le potentiel présente un maximum, et dans la direction perpendiculaire, un minimum. L'équilibre est instable.

Les points L4 et L5 se trouvent sur un "dôme" de potentiel, ou sur une "cuvette" de potentiel, cela dépend du rapport des masses (rapport critique : 26/1). Dans le premier cas l'équilibre est instable, et dans le second il est stable, ce qui autorise la présence en ces points de petits objets célestes (satellites Troyens dans le système Soleil-Jupiter par exemple).

Dans le système Soleil-Terre, le point L1 abrite la mission SOHO d'observation du Soleil, et le point L2 le télescope de la mission Planck d'observation du ciel profond.

Pour une étude plus détaillée, voir à cette page et à celle-là.

Mode d'emploi

L'arrière-plan de la figure tourne afin de bien se rappeler que l'animation se situe dans un référentiel tournant.

• Choisir d'abord, avec le curseur rouge, le rapport des masses des deux astres (ceux-ci se déplacent afin que leur barycentre G reste au milieu de la figure), puis cliquer sur "continuer". On voit apparaître les points de Lagrange.
• Choisir alors entre le tracé des lignes de champ et celui des équipotentielles, en cliquant sur le bouton correspondant.
• Cliquer sur la partie centrale de l'animation pour déclencher le tracé d'une ligne, partant du point cliqué.
• Des palettes à gauche permettent de modifier la couleur des lignes ou celle du fond (utiliser un fond blanc pour imprimer).
• Un bouton permet d'effacer les lignes, et un autre de réinitialiser l'animation.

Suggestions

En traçant les équipotentielles au voisinage des points de Lagrange, vérifier la notion de "col", ou de "cuvette" de potentiel. En cliquant sur les points L1, L2 et L3, on observe un "croisement" de la ligne équipotentielle, preuve que le champ y est nul (rappel : les lignes de champ sont perpendiculaires aux équipotentielles).

En traçant les lignes de champ à proximité des points de Lagrange, vérifier si celui-ci ramène à la position d'équilibre, ou l'en éloigne.