Tracé géométrique de la trajectoire d'une planète

On se  propose de tracer la trajectoire d'une planète connaissant la position initiale et la vitesse initiale.

Cette activité nécessite le logiciel Cabri-géomètre.

Pour passer de l'écran de Cabri à cette page, il suffira de mettre Cabri en réduction. Il sera alors présent dans la barre d'état, en bas de l'écran.

La construction utilise les propriétés d'une conique par foyer et cercle directeur. Voir cette figure ou cet applet puis revenir ici.

• Ouvrir le fichier Trajectoire.fig et le sauvegarder sous un autre nom.
• Ouvrir le fichier Trajectoire.men, qui contient une nouvelle barre d'outils. Examiner chacun de ces outils et regarder leur fonctionnement (en bas de l'écran) en appelant l'Aide.

La figure Trajectoire.fig contient le foyer, la position et la vitesse initiales, ainsi que la constante de force. Il nous faut le rayon et le centre du cercle directeur.

1. Le rayon du cercle directeur est le "grand axe" de la conique, donné par la relation E = - k/(2*a), où E est l'énergie et 2*a le grand axe.
   Il faut donc calculer E = 1/2 m*V₀² - k/(FM₀), en prenant une masse unité :
• avec l'outil "distance et longueur" mesurer V₀ et FM₀ (les résultats sont en cm).
• avec l'outil "calculette" effectuer le calcul de E et sortir le résultat (en double-cliquant dessus, on peut changer le mot "Résultat" par "E = "), puis de la même manière faire calculer 2*a.
2. Avec l'outil "Symétrie axiale" tracer le symétrique de F par rapport au vecteur V₀ et le nommer aussitôt en tapant F1 au clavier. Ce point appartient au cercle directeur.
3. Tracer la demi-droite F1M₀ : elle contient le centre du cercle directeur (c'est-à-dire l'autre foyer F').
4. Faire un "report de mesure" du grand axe sur cette demi-droite. On obtient F'. Taper son nom au clavier.
5. Avec l'outil "cercle" dessiner le cercle directeur.
6. Placer un point M sur ce cercle, ce point servira à générer la conique.
7. Avec l'outil "médiatrice", tracer la médiatrice de FM elle est tangente à la trajectoire (elle porte le vecteur vitesse).
8. Tracer la demi-droite F'M et son intersection avec la tangente : c'est le point générique de la trajectoire ; nommons-le P.
9. Avec l'outil "lieu" créer le lieu de P quand M varie : c'est la trajectoire de la planète !

Remarque : on peut aussi faire tracer le lieu de la tangente.

Pour terminer proprement la figure, utiliser l'outil "cacher-montrer" et cacher les constructions.

Complément : si l'on veut tracer l'objet "conique" il faut 5 points, donc 4 autres. Par exemple le périhélie, l'aphélie et les symétriques de M₀ par rapport au centre et au grand axe de la conique.

Le centre de la conique est le milieu de FF'.

Le grand axe s'obtient en traçant la droite FF'. Elle coupe le cercle en Q et R. Les extrémités du grand axe sont respectivement les milieux de FQ et FR.

Avec l'outil "Conique" créer la trajectoire.

On peut aussi utiliser la macro "planete" de la boîte à outils, qui utilise cette méthode.

Maintenant, amusez-vous à faire varier la constante de force, ou les conditions initiales pour voir l'évolution de la trajectoire.

Vous pouvez aussi utiliser l'outil "Animation" pour le point M : alors on a une idée (approchée) du mouvement de la planète sur son orbite.