L'oscillateur de Van Der Pol

Manipulons la figure...

L'équation de Van Der Pol est utilisée pour modéliser des oscillateurs entretenus. Elle n'est pas linéaire et n'a pas de solution explicite. L'animation ci-dessus en réalise une résolution numérique.

Les paramètres caractéristiques de cette équation sont : la pulsation propre ω₀, le paramètre de réaction a et le paramètre de contrôle b.

L'animation permet de faire varier ces paramètres (curseurs), ainsi que les conditions initiales x₀ et x'₀ (points cerclés).

• Influence des conditions initiales : les oscillations prennent naissance même avec de faibles valeurs, puis se stabilisent. Le portrait de phase montre un cycle limite, qui ne dépend pas des conditions initiales.
• Influence de la réaction : lorsque a=0 on obtient l'oscillateur harmonique ; l'amplitude des oscillations dépend des conditions initiales. En augmentant a on constate une déformation de plus en plus importante des oscillations et du portrait de phase.
• Influence du contrôle : le coefficient b détermine l'amplitude des oscillations : lorsque lxl<b, la réaction est positive et l'amplitude augmente. Lorsque lxl>b c'est l'inverse qui se produit. L'amplitude se stabilise aux environs de 2b.