Considérons un oscillateur possédant un seul degré de liberté, car assujetti à une trajectoire (rectiligne ou curviligne). Le repérage de sa position se fait à l'aide d'une coordonnée (abscisse x, angle θ, abscisse curviligne s, etc...).
L'état mécanique de cet oscillateur à un instant donné est complètement déterminé par la connaissance de sa position et de sa vitesse, elles mêmes calculables à l'aide de l'équation différentielle du mouvement et des conditions initiales.
Cet état mécanique peut être représenté sur un graphe (vitesse, position), appelé "portrait de phase".
Dans le cas présent ce graphe est à deux dimensions, donc facilement observable, mais dans le cas d'un système à deux degrés de liberté, l'espace des phases serait de dimension 4, et pour un système à trois degrés de liberté, de dimension 6.
Pour des raisons d'homogénéité, s'il s'agit d'un oscillateur de pulsation propre ω0, nous porterons en ordonnées la quantité v/ω0, homogène à une longueur, et tracerons le graphe en axes orthonormés. Ainsi la trajectoire de phase d'un oscillateur harmonique non amorti sera une ellipse (ou un cercle, selon l'échelle), décrite dans le sens horaire : voir cette page.
Observons maintenant différentes caractéristiques de ce portrait :
La lecture des coordonnées d'un point M de l'espace des phases donne directement la vitesse et la position du mobile.
La trajectoire décrite par M donne l'évolution du système au cours du temps. On peut reconnaître quelques caractères généraux :
Un calcul simple montre que l²= x²+ v²/ω0² = 2/k*(1/2 mv²+ 1/2 kx²) = 2/k*Energie mécanique de l'oscillateur harmonique.
On peut donc "lire" sur le portrait de phase les pertes ou gains d'énergie (frottement ou au contraire entretien des oscillations).
On peut associer à la trajectoire de phase un vecteur vitesse. Ce vecteur vitesse a pour abscisse la vitesse et pour ordonnée l'accélération, c'est-à-dire, au facteur m (masse) près, la résultante des forces.
Examinons les cas particuliers :
Des animations sont visibles :