Le Pendule Cycloïdal

Manipulons la figure...

Le pendule cycloïdal est un pendule pesant dont la période ne dépend pas de l'amplitude.

La masse de ce pendule est guidée sur une trajectoire cycloïdale. Ceci peut être réalisé de deux manières :

en faisant glisser la masse dans une gouttière de forme de cycloïde (version "gouttière").
en suspendant la masse à un fil qui s'enroule partiellement autour de deux "joues", elles mêmes de forme cycloïdale (version "pendule") : c'est le pendule de Huygens.

Deux boutons permettent de choisir entre ces deux configurations. Un troisième bouton permet de visualiser la courbe de la cycloïde.

Pour montrer l'isochronisme des oscillations, deux masses se mettent en mouvement simultanément. On peut constater qu'elles franchissent en même temps le point le plus bas de la trajectoire (au bout d'un quart de période). En appuyant sur le bouton RAZ, on réinitialise aléatoirement les positions initiales des masses, mais on peut modifier ces positions, en cliquant simplement sur les masses et en les faisant glisser. Un second appui sur le bouton RAZ remet le système en mouvement.

Etude cinématique

Du fait du guidage, le système possède un seul degré de liberté, la variable de position étant l'abscisse curviligne s de la masse sur sa trajectoire.

Les équations paramétriques de la cycloïde sont, u étant le paramètre :

x = R(u+sin(u))         z = R(1-cos(u))

on en déduit : dx = R(1+cos(u)).(du) et dz = R(sin(u)).(du)

L'abscisse curviligne est donnée par (ds)² = (dx)²+(dz)² = R²(2+2cos(u)).(du)² = 4R²cos²(u/2)).(du)². D'où ds = 2Rcos(u/2).(du), et en intégrant :

s(u)=4Rsin(u/2) (l'origine est au centre de la trajectoire)

On remarque que la longueur du fil est 2R : c'est la longueur d'une demi-arche de cycloïde.

Etude énergétique

• L'énergie potentielle de pesanteur est Ep = mgz = mgR(1-cos(u)) = 2mgRsin²(u/2). Elle est donc directement liée à l'abscisse curviligne par : Ep = (mg/8R) s². Le graphe de l'énergie potentielle est une parabole, ce qui est typique d'un oscillateur harmonique.
• L'énergie cinétique a pour expression Ec = 1/2 mv² = 1/2 m(ds/dt)².
• L'énergie mécanique se conserve au cours du temps (pas de frottement). Elle a pour expression Em = Ec+Ep = 1/2 m(ds/dt)² + 1/2 (mg/4R) s². En dérivant par rapport au temps on obtient l'équation différentielle du mouvement : d²s/dt²+(g/4R)s = 0, dont la solution est sinusoïdale, de période T=4p (R/g)^1/2, indépendante de l'amplitude des oscillations.

Du fait de cette propriété, la cycloïde est dite "tautochrone"

La cycloïde

• trajectoire d'un point d'un cercle qui roule sans glisser sur un sol plan
• trajectoire d'une particule chargée dans un champ électrique et un champ magnétique perpendiculaires

Pour plus d'informations sur les propriétés mathématiques de cette courbe, voir absolument le site de l'encyclopédie des formes mathématiques remarquables.